ciclo 5 matemáticas - artística - ética - religión

                                                  CICLO 5 2020

buenas tardes en este espacio vamos a encontrar todas las ayudas de los cursos que estamos estudiando.

La trigonometría es una ciencia exacta que se estudió desde antiguas civilizaciones durante las cuales fue utilizada en el desarrollo de la arquitectura, el estudio de los astros, la navegación, etcétera. La trigonometría viene del griego “trigon”; que quiere decir triángulo, y “metria”; que significa medida.

La trigonometría se basa en la semejanza de dos triángulos cualesquiera, que tengan un ángulo recto, y siempre que tengan ángulos agudos correspondientes de igual medida. Ésta semejanza nos lleva a que las razones entre los lados correspondientes de los triángulos sean valores constantes, así podemos definir las razones trigonométricas.

A partir de estas semejanzas se pueden resolver fórmulas y gráficas con las que se solucionan diferentes problemas en temas que requieren del conocimiento de un punto exacto en un espacio determinado; como la astronomía, el posicionamiento de los satélites, la radio y la televisión, la ubicación de las antenas de telecomunicaciones, etcétera, así podemos ver que la aplicación de las relaciones trigonométricas tiene una gran cantidad de ramas y temas con los que diariamente nos encontramos.

Relaciones trigonométricas:

Ten en cuenta que a los lados del triángulo que forman el ángulo recto se les conoce como catetos (Opuesto y adyacente), y al lado que se encuentra opuesto al ángulo recto se le llama hipotenusa. Cateto opuesto se llama al lado que es opuesto al ángulo A, que es el ángulo mas agudo del triángulo, cateto adyacente se llama a  aquel lado que se encuentra formando al ángulo A junto a la hipotenusa.




este es un ejemplos de la trigonométrica

 

                                                                   ARTÍSTICA

esta canción es para practicar y bailarla

La Mucura

Autoridad de la Sierra

La mucura este en el suelo mama no puedo con ella
Me la llevo a la cabeza mama no puedo con ella
La mucura esta en suelo mama no puedo con ella
Me la llevo a la cabeza mama no puedo con ella
Esque no puedo con ella
Mama no puedo con ella
Esque no puedo con ella
Mama no puedo con ella
Y bailele sabroso oiga con la autoridad de la sierra
Muchacha porque no puedes con esa mucura de agua
Muchacha llama a san pedro pa que te ayude a cargarla
Muchacha porque no puedes con esa mucura de agua
Muchacha llama a san pedro pa que te ayude a cargarla
Esque no puedo con ella
Mama no puedo con ella
Esque no puedo con ella
Mama no puedo con ella
Muchacha quien te rompio como un curita de barro
Fue el pedro que me ayudo pa…

ciclo 4 matemáticas - artística - ética - religión

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Una factorización consiste en escribir una expresión algebraica como el producto de dos o más factores algebraicos. Para ello, primero se debe identificar qué tipo de factorización tenemos que realizar.

Cuando todos los términos de una expresión tienen un factor común

En este caso se deben reconocer el factor numérico y luego el factor literal, para proceder a escribir la expresión original como el producto de factores, considerando los siguientes pasos:

a) Para encontrar el factor numérico, se busca el mayor número que está contenido en todos los factores numéricos que aparecen en la expresión.

b) El factor literal es la expresión algebraica formada por el producto de todas las variables literales que aparecen en cada uno de los términos, elevadas a la menor potencia con la que aparecen.

Cuando el factor común es un polinomio

Este caso se produce cuando el factor común no es un monomio, si no que es una expresión algebraica con más de un término.

Ejemplo

Queremos factorizar la expresión ${\displaystyle a^{2}+ab+ax+bx}$

cuando la expresión es un cuadrado perfecto

Decimos que una expresión algebraica es un cuadrado perfecto cuando éste es el producto de dos factores iguales.

Por ejemplo, el término ${\displaystyle 9x^{2}}$ es un cuadrado perfecto, pues ${\displaystyle 9x^{2}=(3x)(3x)}$.

Nos interesa reconocer un trinomio como cuadrado perfecto. Esto pasa cuando el trinomio es el cuadrado perfecto de un binomio, lo que se conoce como cuadrado de un binomio.

La forma genérica de un cuadrado de binomio es la siguiente:

${\displaystyle (a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}}$                                                   

Un trinomio ordenado, con relación a una variable, es un cuadrado perfecto cuando los términos primero y tercero son cuadrados perfectos, y cuando el segundo término es el doble del producto de las raíces de esos cuadrados perfectos.

Ejemplo

Queremos factorizar la expresión ${\displaystyle a^{2}-10ab+25b^{2}}$

cuando la expresión es una diferencia de cuadrados perfectos

Un binomio es una suma por diferencia cuando tiene la forma

                                                        ${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$.

Esta expresión algebraica, que es un producto notable, puede ser factorizada de la forma

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$

ciclo 3 matemáticas - artística - ética - religión

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TRIGONOMETRIA DECIMO 2020

                                       

                             HISTORIA DE LA TRIGONOMÉTRICA

La trigonometría es una rama de las tantas ramas de matemáticas, se encarga de estudiar y analizar la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos. Para esto recurre generalmente a las llamadas razones trigonométricas. El origen de la palabra trigonometría desciende del griego “trigonos” (triángulo) y “metros” (metria).

Hace unos 4000 años en Babilonia (antiguo reino localizado en la región de Mesopotamia) y Egipto se determinó y establecieron aproximaciones de medidas de ángulos y de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos para ampliar y desarrollar medidas tanto en la agricultura como en la construcción de pirámides. Los egipcios fijaron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Además se utilizaba la trigonometría para el estudio de la astronomía. Antiguamente la astronomía se ocupaba de la observación y predicciones de los movimientos de los objetos visibles a simple vista y en el estudio de la predicción de las rutas y posiciones y perspectivas de los cuerpos en el espacio, para luego progresar y perfeccionar la exactitud en la navegación y el cálculo del tiempo así como los calendarios. La astronomía precolombina poseía calendarios muy puntuales y las pirámides de Egipto fueron construidas sobre patrones astronómicos muy exactos y puntuales.

Luego de Egipto y Babilonia, el estudio de la trigonometría se asentó en Grecia, donde podemos nombrar al matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, quien fue uno de los principales y más importantes desarrolladores de la Trigonometría. Este matemático construyó una tabla de cuerdas para solucionar triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y aproximándose hasta 180° con ampliaciones de 71°, la tabla facilitaba la longitud de la cuerda limitada por los lados del ángulo central ya que fragmentaba a una circunferencia de radio r. Hasta el momento no se conoce el valor que Hiparco utilizó para r. 300 años mas tarde, el astrónomo griego Tolomeo utilizó r = 60, ya que los griegos tomaron el sistema numeral (base 60) que era usado por los babilonios.
Durante varios siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción primordial para los astrónomos. El libro de astronomía, Almagesto, escrito por él, igualmente poseía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, presentando también el catálogo estelar más perfecto y completo de la antigüedad. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue también obra de Tolomeo.

En India y Arabia la trigonometría era utilizada en la Astronomía. El primer uso de la función seno, aparece en el Shulba o Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Se desarrollo entonces un sistema trigonométrico que estaba basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función nueva función, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa. A finales del siglo X ya habían se habían completado la función seno y las otras cinco funciones trigonométricas.

En el siglo XII comienzan a aparecer en Europa traducciones de libros de matemáticas y astronomía árabes, hecho que lleva a la familiarización con la trigonometría. El primer trabajo significativo en esta materia en el continente Europeo fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller. Se le considerada fundador y un importante innovador en esta materia, puesto que detalla y crea varias herramientas de gran utilidad, así como importantes tratados como De triangulis y Epitome in Almagestum en el cual explica, analiza y muestra la obra de Tolomeo.

Durante el siglo XII el astrónomo alemán Georges Joachim, introdujo el concepto moderno de las funciones trigonométricas como proporcionales en vez de longitudes de algunas determinadas líneas. Ya en el siglo XVI el matemático francés François Vieté, incorpora en su tratado “Canon matemáticas” el triángulo polar en la trigonometría esférica.

A comienzos del siglo XVII, el matemático escocés John Napier descubrió los logaritmos que el llamó “números artificiales”. Esto fue trascendental en el desarrollo de la trigonometría.

A mediados del siglo XVII el físico, inventor, alquimista y matemático inglés, Isaac Newton descubre el cálculo diferencial e integral. También contribuyó en otras áreas de la matemática, por ejemplo desarrollando el teorema del binomio o las fórmulas de Newton-Cotes.

En el siglo XVIII, el físico y matemático suizo Leonhard Euler, explicó que las propiedades de la trigonometría eran consecuencia de la aritmética de los números complejos. Estudió además la notación actual de las funciones trigonométricas y se le atribuye el descubrimiento de la letra e como base del logaritmo natural, así como la unidad imaginaria que generalmente se denota con la letra i. Euler también popularizó El número pi ( π ).

Durante el siglo XX la trigonometría ha realizado muchos aportes en el estudio de los fenómenos de onda y oscilatorio, así como el comportamiento periódico, el cual se relaciona con las propiedades analíticas de las funciones trigonométricas. En astronomía se utiliza para medir distancias a estrellas próximas, para la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación satelital.

                    ELEMENTOS DE LA TRIGONOMÉTRICA

sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones (lineales) que tienen más de una incógnita. Las incógnitas aparecen en varias de las ecuaciones, pero no necesariamente en todas. Lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las incógnitas entre sí. Ejemplo de un sistema: 3x+2y=1 x−5y= 6 Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (x e y ) Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el valor de cada incógnita para que se cumplan todas las ecuaciones del sistema La solución al sistema del ejemplo anterior es x = 1 y = −1 nota: Pero no siempre existe solución, o bien, pueden existir infinitas soluciones. Si hay una única solución (un valor para cada incógnita, como en el ejemplo anterior) se dice que el sistema es compatible determinado. No hablaremos de los otros tipos ya que en esta página sólo se estudian los sistemas determinados. Para resolver un sistema (compatible determinado) necesitamos tener al menos tantas ecuaciones como incógnitas. En esta página resolvemos sistemas de dos ecuaciones (lineales) con dos incógnitas mediante los métodos que describimos a continuación, que se basan en la obtención de una ecuación de primer grado. diferentes métodos de solución de los sistemas de ecuaciones lineales 1) Método de sustitución: consiste en despejar o aislar una de las incógnitas (por ejemplo, x) y sustituir su expresión en la otra ecuación. De este modo, obtendremos una ecuación de primer grado con la otra incógnita, y . Una vez resuelta, calculamos el valor de x sustituyendo el valor de y que ya conocemos. 2 ) Método de reducción: consiste en operar entre las ecuaciones como, por ejemplo, sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas desaparezca. Así, obtenemos una ecuación con una sola incógnita. 3) Método de igualación: consiste en aislar en ambas ecuaciones la misma incógnita para poder igualar las expresiones, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita. faltan otros métodos.

el mundo de los casos de factorizacion

• Diferencia de cuadrados.
• Suma o diferencia de cubos.
• Suma o diferencia de potencias impares iguales.
• Trinomio cuadrado perfecto.
• Trinomio de la forma x²+bx+c.
• Trinomio de la forma ax²+bx+c.
• Factor común.
• Triángulo de Pascal como guía para factorizar

Caso I: Factor Común 

 Cómo Reconocer: Existe un factor común en todos los términos. Los números pueden factorizarse en este caso si existe máximo común divisor (MCD) entre ellos. Cómo Factorizar: Hallar el MCD, tomar las letras comunes con el menor exponente. Abrir paréntesis y dividir cada término entre el factor común (restando los exponentes). 

ax+bx = x(a+b) 

• ax 3 -bx 2 = x 2 (ax-b)

 • 2b 5 -b 3 = b 3 (2b 2 -1) 

• 24ax+18bx = 6x(4a+3b) 

Caso I Especial

 • 2x(a+1)-3y(a+1) = (a+1)(2x-3y) 

Cómo Reconocer: El factor común es un conjunto entre paréntesis. Cómo Factorizar: Tomar el paréntesis común y dividir cada término entre el común 

Caso II: Factor común por agrupación 

• ax+bx-ay-by

 = (ax+bx)-(ay+by) 

 = x(a+b) - y(a+b) 

= (a+b)(x-y)

Cómo Reconocer: Son cuatro términos, a veces son seis u ocho términos Cómo Factorizar: Formar dos grupos y factorizar cada grupo como el caso I y luego el resultado factorizar como el caso I especial.

 • ax2 -x+ax-1 

= (ax2 -x)+(ax-1)

 = x( ax-1) +(ax-1)

 = (ax-1)(x+1)

Caso III: Trinomio cuadrado perfecto 

 Cómo Reconocer: Siempre son tres términos. 

El primero y el tercero siempre son positivos y tienen raíz cuadrada. 

Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada del primero, signo del segundo y raíz cuadrada del tercero. Asociar entre paréntesis y elevar al cuadrado.